Introducción: ¿Qué es LaTeX y para qué sirve?

LaTeX (pronunciado "la-tek") es un sistema de composición tipográfica diseñado para la creación de documentos con alto contenido matemático y científico. Se utiliza ampliamente en el ámbito académico, especialmente en matemáticas, física, ingeniería, informática y estadística.

En Google Colab, puedes escribir expresiones matemáticas usando sintaxis LaTeX dentro de las celdas de texto (Markdown), lo cual te permite representar ecuaciones de forma profesional, clara y legible. Esto es ideal para crear explicaciones detalladas de problemas, informes de laboratorio, clases interactivas y mucho más.

🎯 ¿Por qué deberías aprender LaTeX?

📘 ¿Qué aprenderás en este tutorial paso a paso?

✅ Nota: No necesitas instalar nada. Puedes comenzar a usar LaTeX directamente desde Google Colab escribiendo dentro de las celdas tipo Markdown. ¡Verás que es mucho más fácil de lo que parece!

✍️ Cómo escribir matemáticas en Google Colab

En Google Colab puedes escribir fórmulas matemáticas utilizando el sistema LaTeX de dos formas principales:

🔢 Fórmulas en línea (modo inline)

Este formato se usa cuando deseas incluir la fórmula como parte de un párrafo de texto.

✨ Ejemplos de código:

La ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ tiene soluciones $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

El teorema de Pitágoras dice que $a^2 + b^2 = c^2$.

La derivada de $f(x) = x^n$ es $f'(x) = nx^{n-1}$.

La suma de los primeros $n$ naturales: $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$.

🔮 Resultado renderizado:

La ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ tiene soluciones $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

El teorema de Pitágoras dice que $a^2 + b^2 = c^2$.

La derivada de $f(x) = x^n$ es $f'(x) = nx^{n-1}$.

La suma de los primeros $n$ naturales: $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$.

2️⃣ Fórmulas centradas (modo display)

Las fórmulas centradas se escriben utilizando dos símbolos de dólar $$ al inicio y al final del bloque de fórmula. Estas expresiones aparecen en una línea aparte, con alineación centrada y tamaño destacado. Este estilo se utiliza cuando se desea resaltar expresiones matemáticas importantes o presentar resultados finales.

Ejemplo de código (lo que se escribe en Google Colab):

# Fórmula cuadrática general
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

# Integral definida
\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]

# Serie de Taylor para e^x
\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

Así se verá renderizado:

Fórmula cuadrática:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Integral definida:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]

Serie de Taylor para \(e^x\):

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]
🎯 Consejo pedagógico: Siempre que necesites destacar un resultado importante o explicar paso a paso una operación matemática, el modo display es la mejor opción. Es ideal para presentaciones, informes o clases virtuales con Google Colab o Jupyter Notebook.

🎯 Comparación visual detallada

Tipo Código LaTeX Resultado
Fracción La fracción $\frac{a}{b}$ es... La fracción $\frac{a}{b}$ es...
$$\frac{a}{b}$$ $$\frac{a}{b}$$
Integral El área $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$ El área $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
$$\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$$ $$\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$$
Sumatoria La suma $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ La suma $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$
$$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$

💡 Guía de uso: ¿Cuándo usar cada formato?

Usa $...$ (en línea) para:
  • Variables y constantes: "Sea $x$ una variable real"
  • Expresiones simples: "Si $a > 0$ entonces..."
  • Referencias: "Como vimos en la ecuación $E = mc^2$"
  • Operaciones básicas: "La suma $a + b$"
  • Funciones simples: "La función $f(x) = x^2$"

Tip: Si la fórmula no interrumpe la lectura, úsala en línea.

Usa $$...$$ (centrado) para:
  • Ecuaciones numeradas: Teoremas principales
  • Demostraciones: Pasos de desarrollo matemático
  • Resultados importantes: Conclusiones finales
  • Fórmulas complejas: Con fracciones grandes o matrices
  • Definiciones formales: Conceptos clave del tema

Tip: Si quieres que destaque, úsala centrada.

📌 Ejemplo completo: Resolviendo una ecuación cuadrática

## Resolución de ecuación cuadrática

Vamos a resolver la ecuación $2x^2 + 5x - 3 = 0$ usando la fórmula cuadrática.

Identificamos los coeficientes: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$.

Aplicamos la fórmula general:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Sustituimos los valores:
$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$$

Simplificamos:
$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}$$

Por lo tanto, las soluciones son:
$$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
$$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

**Respuesta:** Las soluciones son $x_1 = \frac{1}{2}$ y $x_2 = -3$.
Resultado renderizado:

Resolución de ecuación cuadrática

Vamos a resolver la ecuación $2x^2 + 5x - 3 = 0$ usando la fórmula cuadrática.

Identificamos los coeficientes: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$.

Aplicamos la fórmula general:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Sustituimos los valores:

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$$

Simplificamos:

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}$$

Por lo tanto, las soluciones son:

$$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

Respuesta: Las soluciones son $x_1 = \frac{1}{2}$ y $x_2 = -3$.

⚠️ Errores comunes y cómo evitarlos

❌ Error común ✅ Forma correcta 💡 Explicación
$$$x^2$$$ $$x^2$$ Máximo dos símbolos $
$ x^2 $ $x^2$ Sin espacios después del $
$x^10$ $x^{10}$ Usa llaves para exponentes de más de un dígito
$sin(x)$ $\sin(x)$ Las funciones llevan backslash
$√x$ $\sqrt{x}$ Usa comandos LaTeX, no símbolos Unicode

Sintaxis Básica de LaTeX

📌 Números, variables y expresiones básicas

Potencias y exponentes
Descripción Código LaTeX Resultado
Potencia simple $x^2$ $x^2$
Potencia con varios dígitos $x^{10}$ $x^{10}$
Potencia negativa $x^{-1}$ $x^{-1}$
Potencia con expresión $e^{x+1}$ $e^{x+1}$
Potencia de potencia $(x^2)^3$ $(x^2)^3$
Base con subíndice y potencia $x_0^2$ $x_0^2$
Subíndices (muy útiles en física y química)
Descripción Código LaTeX Resultado
Subíndice simple $x_1$ $x_1$
Subíndice múltiple $x_{12}$ $x_{12}$
Variables de física $v_0$, $v_f$ $v_0$, $v_f$
Fórmulas químicas $H_2O$, $CO_2$ $H_2O$, $CO_2$
Doble subíndice $a_{i,j}$ $a_{i,j}$
Texto como subíndice $V_{\text{max}}$ $V_{\text{max}}$

📌 Símbolos matemáticos esenciales

Operaciones aritméticas
$+$ → $+$ Suma
$-$ → $-$ Resta
$\times$ → $\times$ Multiplicación
$\div$ → $\div$ División
$\cdot$ → $\cdot$ Producto punto
$\pm$ → $\pm$ Más/menos
$\mp$ → $\mp$ Menos/más
Relaciones y comparaciones
$=$ → $=$ Igual
$\neq$ → $\neq$ Diferente
$<$ → $<$ Menor que
$>$ → $>$ Mayor que
$\leq$ → $\leq$ Menor o igual
$\geq$ → $\geq$ Mayor o igual
$\approx$ → $\approx$ Aproximado
Conjuntos y lógica
$\in$ → $\in$ Pertenece
$\notin$ → $\notin$ No pertenece
$\subset$ → $\subset$ Subconjunto
$\cup$ → $\cup$ Unión
$\cap$ → $\cap$ Intersección
$\emptyset$ → $\emptyset$ Conjunto vacío
$\infty$ → $\infty$ Infinito

📌 Alfabeto griego (esencial para matemáticas y física)

Letras minúsculas comunes
$\alpha$ $\alpha$ alfa (ángulos)
$\beta$ $\beta$ beta (ángulos)
$\gamma$ $\gamma$ gamma (ángulos)
$\delta$ $\delta$ delta (cambios)
$\theta$ $\theta$ theta (ángulos)
$\lambda$ $\lambda$ lambda (longitud de onda)
$\mu$ $\mu$ mu (coef. fricción)
$\pi$ $\pi$ pi (3.14159...)
$\omega$ $\omega$ omega (vel. angular)
Letras mayúsculas comunes
$\Delta$ $\Delta$ Delta (cambio)
$\Sigma$ $\Sigma$ Sigma (suma)
$\Pi$ $\Pi$ Pi (producto)
$\Omega$ $\Omega$ Omega (ohmios)
$\Phi$ $\Phi$ Phi (flujo)
$\Psi$ $\Psi$ Psi (función de onda)
$\Gamma$ $\Gamma$ Gamma (función)
$\Lambda$ $\Lambda$ Lambda
$\Theta$ $\Theta$ Theta
💡 Ejemplo combinando todo lo anterior:
La velocidad inicial $v_0 = 10 \text{ m/s}$ forma un ángulo $\theta = 30^\circ$ con la horizontal.

Si $\mu = 0.2$ es el coeficiente de fricción y $\Delta t = 5$ s, entonces:

$$v_f^2 = v_0^2 - 2\mu g \Delta x$$

donde $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$ y $\Delta x$ es el desplazamiento.

La velocidad inicial $v_0 = 10 \text{ m/s}$ forma un ángulo $\theta = 30^\circ$ con la horizontal.

Si $\mu = 0.2$ es el coeficiente de fricción y $\Delta t = 5$ s, entonces:

$$v_f^2 = v_0^2 - 2\mu g \Delta x$$

donde $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$ y $\Delta x$ es el desplazamiento.

Álgebra de Bachillerato

🔢 Fracciones

Tipo de fracción Código LaTeX Resultado
Fracción simple $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
Fracción con variables $\frac{x}{y}$ $\frac{x}{y}$
Fracción algebraica $\frac{x + 1}{x - 1}$ $\frac{x + 1}{x - 1}$
Fracción compleja $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$ $\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1}$
Fracción anidada $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$
Fracción continua $\frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}}$ $\frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}}$

💡 Tip: En modo display ($$...$$), las fracciones se ven más grandes y claras:

$$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{x-1}$$

🔢 Raíces y radicales

Tipo de raíz Código LaTeX Resultado
Raíz cuadrada simple $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$
Raíz cuadrada de expresión $\sqrt{x^2 + y^2}$ $\sqrt{x^2 + y^2}$
Raíz cúbica $\sqrt[3]{8}$ $\sqrt[3]{8}$
Raíz n-ésima $\sqrt[n]{x}$ $\sqrt[n]{x}$
Raíz de fracción $\sqrt{\frac{a}{b}}$ $\sqrt{\frac{a}{b}}$
Raíz anidada $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

📐 Ejemplo de racionalización:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

📐 La fórmula cuadrática (¡La más importante del álgebra!)

Formas de escribir la fórmula cuadrática
Descripción Código LaTeX Resultado
Forma estándar $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Con discriminante $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac$
Soluciones separadas $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$		 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
📝 Ejemplo resuelto paso a paso

Resolver: $3x^2 - 7x + 2 = 0$

Paso 1: Identificar coeficientes

$a = 3$, $b = -7$, $c = 2$

Paso 2: Calcular el discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25$

Paso 3: Aplicar la fórmula

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(3)} = \frac{7 \pm 5}{6}$

Paso 4: Obtener las soluciones

$x_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Verificación: $3(2)^2 - 7(2) + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$ ✓

📊 Sistemas de ecuaciones

Diferentes formas de escribir sistemas

Sistema 2×2 básico:

$\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
x - y = 1
\end{cases}$
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Sistema 3×3:

$\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + 3z = 14 \\
3x + 2y - z = 2
\end{cases}$
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 14 \\ 3x + 2y - z = 2 \end{cases}$

Sistema con alineación mejorada:

$\left\{
\begin{aligned}
3x + 2y - z &= 1 \\
2x - 2y + 4z &= -2 \\
-x + \frac{1}{2}y - z &= 0
\end{aligned}
\right.$
$\left\{ \begin{aligned} 3x + 2y - z &= 1 \\ 2x - 2y + 4z &= -2 \\ -x + \frac{1}{2}y - z &= 0 \end{aligned} \right.$

📈 Funciones definidas por partes

Función valor absoluto:

$|x| = \begin{cases}
x & \text{si } x \geq 0 \\
-x & \text{si } x < 0
\end{cases}$
$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Función escalón unitario:

$H(x) = \begin{cases}
0 & \text{si } x < 0 \\
\frac{1}{2} & \text{si } x = 0 \\
1 & \text{si } x > 0
\end{cases}$
$H(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{2} & \text{si } x = 0 \\ 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Función definida por intervalos:

$f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1 & \text{si } x \leq -1 \\
2x & \text{si } -1 < x < 2 \\
5 & \text{si } x \geq 2
\end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq -1 \\ 2x & \text{si } -1 < x < 2 \\ 5 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

📏 Desigualdades e intervalos

Tipo Código LaTeX Resultado
Desigualdad simple $x > 3$ $x > 3$
Desigualdad doble $-2 < x \leq 5$ $-2 < x \leq 5$
Intervalo abierto $(a, b)$ $(a, b)$
Intervalo cerrado $[a, b]$ $[a, b]$
Intervalo mixto $[a, b)$ $[a, b)$
Intervalo infinito $(-\infty, a]$ $(-\infty, a]$

📌 Ejemplo: La solución de $x^2 - 4 < 0$ es $x \in (-2, 2)$

🎯 Expresiones algebraicas avanzadas

Ejemplos de expresiones complejas

Factorización de polinomios:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

Productos notables:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Racionalización compleja:

$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}$

Completar el cuadrado:

$x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Geometría y Trigonometría

📐 Fórmulas geométricas fundamentales

Áreas y perímetros
Figura Fórmula LaTeX
Círculo Área: $A = \pi r^2$ $A = \pi r^2$
Perímetro: $P = 2\pi r$ $P = 2\pi r$
Triángulo Área: $A = \frac{1}{2}bh$ $A = \frac{1}{2}bh$
Fórmula de Herón: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
donde $s = \frac{a+b+c}{2}$ $s = \frac{a+b+c}{2}$
Rectángulo Área: $A = b \cdot h$ $A = b \cdot h$
Perímetro: $P = 2(b + h)$ $P = 2(b + h)$
Trapecio Área: $A = \frac{(b_1 + b_2)h}{2}$ $A = \frac{(b_1 + b_2)h}{2}$

📏 Teoremas fundamentales

Teorema de Pitágoras

Forma clásica:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Despejando la hipotenusa:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Despejando un cateto:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Ternas pitagóricas comunes:

$(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$

Teorema de Tales

Si dos rectas son cortadas por paralelas:

$$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$$

📊 Funciones trigonométricas

Definiciones básicas
Función Definición Código LaTeX
Seno $\sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ $\sin(\theta)$
Coseno $\cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ $\cos(\theta)$
Tangente $\tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ $\tan(\theta)$
Cotangente $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$ $\cot(\theta)$
Secante $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$ $\sec(\theta)$
Cosecante $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$ $\csc(\theta)$

🔄 Identidades trigonométricas fundamentales

Identidades pitagóricas
$$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$ $$1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$$ $$1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$$
Fórmulas de ángulo doble
$$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$$
Fórmulas de suma y resta
$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ $$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)}$$

📏 Ley de senos y ley de cosenos

Ley de senos

Forma estándar:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

Forma con el diámetro de la circunferencia circunscrita:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R$$

Ejemplo de aplicación:

Si $a = 10$, $A = 30°$, $B = 45°$:

$$b = \frac{a \cdot \sin(B)}{\sin(A)} = \frac{10 \cdot \sin(45°)}{\sin(30°)} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2}$$
Ley de cosenos

Formas equivalentes:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$

Para encontrar ángulos:

$$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

📐 Valores de ángulos especiales

Ángulo $0°$ $30°$ $45°$ $60°$ $90°$
Radianes $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$
$\sin$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
$\tan$ $0$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $1$ $\sqrt{3}$ $\infty$

Física de Bachillerato

🚗 Cinemática (Estudio del movimiento)

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Velocidad constante: $v = \frac{d}{t} = \text{constante}$
Posición: $x = x_0 + vt$
Velocidad media: $v_{\text{med}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_0}{t_f - t_0}$
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Ecuaciones fundamentales:

Velocidad: $v = v_0 + at$
Posición: $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$
Velocidad-posición: $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
Posición (sin aceleración): $x = x_0 + \frac{(v_0 + v)t}{2}$

📌 Caso especial - Caída libre: $a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2$

🎯 Movimiento en dos dimensiones

Tiro parabólico

Componentes de la velocidad inicial:

$$v_{0x} = v_0 \cos(\theta)$$ $$v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$$

Ecuaciones de posición:

$$x = v_0 \cos(\theta) \cdot t$$ $$y = v_0 \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

Altura máxima:

$$h_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}$$

Alcance horizontal:

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Tiempo de vuelo:

$$t_{\text{vuelo}} = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}$$

⚡ Dinámica (Fuerzas y leyes de Newton)

Leyes de Newton
Ley Enunciado Fórmula
Primera Ley de inercia $\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{v} = \text{constante}$
Segunda F = ma $\vec{F} = m\vec{a}$
Tercera Acción-reacción $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$
Tipos de fuerzas comunes
Peso: $\vec{W} = m\vec{g}$ Siempre hacia abajo
Normal: $\vec{N} \perp \text{superficie}$ Perpendicular a la superficie
Fricción estática: $f_s \leq \mu_s N$ Opuesta al movimiento potencial
Fricción cinética: $f_k = \mu_k N$ Opuesta al movimiento
Fuerza elástica: $\vec{F} = -k\vec{x}$ Ley de Hooke
Tensión: $\vec{T}$ A lo largo de cuerdas/cables

💡 Trabajo, energía y potencia

Trabajo mecánico

Definición general:

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$

Casos especiales:

Fuerza paralela al desplazamiento: $W = F \cdot d$
Fuerza perpendicular: $W = 0$
Trabajo de la gravedad: $W_g = -mg\Delta h$
Trabajo de un resorte: $W_s = -\frac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$
Tipos de energía
Tipo Fórmula Unidades
Cinética $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ Joules (J)
Potencial gravitatoria $E_p = mgh$ Joules (J)
Potencial elástica $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$ Joules (J)
Mecánica total $E_m = E_k + E_p$ Joules (J)

⚡ Conservación de la energía: $E_{m,inicial} = E_{m,final}$ (sin fricción)

🎱 Momento lineal y colisiones

Momento lineal (cantidad de movimiento)

Definición:

$\vec{p} = m\vec{v}$

Conservación del momento:

$\vec{p}_{\text{inicial}} = \vec{p}_{\text{final}}$ $m_1\vec{v}_{1i} + m_2\vec{v}_{2i} = m_1\vec{v}_{1f} + m_2\vec{v}_{2f}$

Impulso:

$\vec{J} = \vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$
Tipos de colisiones
Tipo Momento Energía cinética
Elástica Se conserva ✓ Se conserva ✓
Inelástica Se conserva ✓ No se conserva ✗
Perfectamente inelástica Se conserva ✓ Pérdida máxima

🔄 Movimiento circular

Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Velocidad angular: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$
Velocidad tangencial: $v = \omega r$
Aceleración centrípeta: $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$
Fuerza centrípeta: $F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$
Período: $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega}$
Frecuencia: $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$

🌊 Ondas y oscilaciones

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Ecuación de posición:

$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$

Velocidad:

$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$

Aceleración:

$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$

Energía en el MAS:

$E_{\text{total}} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$
Características de las ondas
Velocidad de propagación: $v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$
Longitud de onda: $\lambda = \frac{v}{f}$
Número de onda: $k = \frac{2\pi}{\lambda}$
Ecuación de onda: $y(x,t) = A\sin(kx - \omega t)$

⚡ Electricidad básica

Conceptos fundamentales
Magnitud Fórmula Unidad
Carga eléctrica $Q = n \cdot e$ Coulomb (C)
Corriente $I = \frac{Q}{t}$ Ampere (A)
Voltaje $V = \frac{W}{Q}$ Volt (V)
Resistencia $R = \rho \frac{L}{A}$ Ohm (Ω)

Ley de Ohm:

$V = IR$

Potencia eléctrica:

$P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$

Energía consumida:

$E = Pt = VIt$

Tipos de matrices en LaTeX

Las matrices se crean usando el entorno \begin{matrix} o sus variantes. Aquí tienes varios ejemplos con su código y visualización:

🔹 Matriz con paréntesis

$$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

🔹 Matriz con corchetes

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

🔹 Matriz con llaves

$$\begin{Bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{Bmatrix}$$

🔹 Matriz con barras (determinante)

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$$

🔹 Matriz con barras dobles

$$\begin{Vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{Vmatrix}$$

🔹 Matriz identidad con puntos

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

Funciones definidas por partes

Las funciones a trozos se escriben usando el entorno \begin{cases}. Aquí tienes un ejemplo:

📐 Función valor absoluto

$$ |x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \geq 0 \\ -x, & \text{si } x < 0 \end{cases} $$

📘 Ejemplo general

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1, & \text{si } 0 \leq x < 5 \\ 10, & \text{si } x \geq 5 \end{cases} $$

📌 Tip importante

Para las funciones a trozos, es recomendable usar \text{} dentro del entorno cases para mantener la fuente de texto en modo normal.

Combinatoria en LaTeX

Usamos notación con factoriales o binomios:

Ejemplo:

$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10$$

Estadística: media, mediana y desviación

Media:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Mediana: Notación textual

$$\text{Mediana} = x_{(n+1)/2} \text{ si n impar}$$

Desviación estándar:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$$

Funciones especiales comunes

Representación de funciones

Ejemplo de parábola:

$$f(x) = x^2 - 2x + 1$$

Puede complementarse con gráficos externos usando TikZ o PGFPlots:

\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
    axis lines = middle,
    xlabel = $x$,
    ylabel = {$f(x)$}]
    \addplot [domain=-2:4, samples=100, thick] {x^2 - 2*x + 1};
  \end{axis}
\end{tikzpicture}

Notación científica y unidades

Notación científica: $1.23 \times 10^4$

Unidades con texto: $10\,\text{m/s}$, $25\,\text{kg}$

Usa \, para un pequeño espacio entre el número y la unidad.